Na kapłana został wyświęcony przez bpa Piotra Kałwę w katedrze lubelskiej – 20 kwietnia 1958 r.
Duszpastersko pracował w następujących parafiach:
Świerże (30.04.1958 – 10.06.1961) – wikariusz,
Chełm Narodzenia NMP (10.06.1961 – 23.08.1963) – wikariusz,
Rejowiec (23.08.1963 – 21.10.1977) – wikariusz,
Rejowiec (21.10.1977 – 02.08.1980) – proboszcz,
Wojsławice (02.08.1980 – 04.07.1988) – proboszcz,
Goraj (04.07.1988 – 26.08.2002) – proboszcz.
W dniu 26 sierpnia 2002 r., ks. Józef przeszedł na emeryturę i w miarę sił pomagał duszpastersko w parafii pw. św. Bartłomieja Apostoła w Goraju. Wraz z pogarszającym się zdrowiem z dniem 24 kwietnia 2019 r. zamieszkał w Domu Księży Seniorów w Biłgoraju.
Ks. Józef Czuk pełnił urząd wicedziekana Dekanatu Biłgoraj Północ w latach 1993-2002.
Biskup Lubelski Bolesław Pylak obdarzył go godnością kanonika honorowego kapituły zamojskiej – 31.05.1985 r.
Ks. Józef Czuk zmarł w Domu Księży Seniorów w Biłgoraju – 12 października 2024 r.
Msza św. żałobna pod przewodnictwem Biskupa Seniora Jana Śrutwy zostanie odprawiona we wtorek, 15 października 2024 r. o godz. 11.30 w kościele parafialnym pw. św. Marii Magdaleny w Biłgoraju. (Różaniec św. godz. 11.00).
Msza św. pogrzebowa pod przewodnictwem Biskupa Diecezjalnego Mariana Rojka – środa, 16 października 2024 r., godz. 14.00 w kościele parafialnym pw. Świętego Krzyża w Zamościu. (Różaniec 13.30).
Po Mszy św. złożenie ciała śp. ks. Józefa Czuka w grobowcu rodzinnym na cmentarzu parafialnym w Zamościu.
W testamencie kapłańskim, ks. Józef zapisał: "Proszę, by w czasie pogrzebu nie było żadnych przemówień z wyjątkiem homilii. Proszę o modlitwę" (01.02.2021).
Śp. ks. Kan. Józefa polecajmy w modlitwach Bożemu Miłosierdziu.